मैक्सवेल समीकरण विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत के मूल सिद्धांत हैं, जो विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र से संबंधित चार समीकरणों का एक समूह बनाता है। मैक्सवेल समीकरणों के गणितीय प्रतिनिधित्व को सूचीबद्ध करने के बजाय, हम इस लेख में उन समीकरणों के वास्तविक महत्व पर ध्यान देंगे। मैक्सवेल का पहला और दूसरा समीकरण क्रमशः स्थिर विद्युत क्षेत्रों और स्थिर चुंबकीय क्षेत्रों से संबंधित है। मैक्सवेल का तीसरा और चौथा समीकरण क्रमशः चुंबकीय क्षेत्रों और बदलते विद्युत क्षेत्रों से संबंधित है।
मैक्सवेल समीकरण हैं:
- गॉस लॉ ऑफ इलेक्ट्रिसिटी
- गॉस लॉ ऑफ मैग्नेटिज्म
- फैराडे के कानून का प्रेरण
- एम्पीयर का नियम
1. गॉस ऑफ इलेक्ट्रिसिटी
इस कानून में कहा गया है कि एक बंद सतह से निकला इलेक्ट्रिक फ्लक्स उस सतह से घिरे कुल आवेश के समानुपाती होता है। गॉस कानून स्थिर विद्युत क्षेत्र से संबंधित है।
आइए हम एक सकारात्मक बिंदु आवेश पर विचार करें। हम जानते हैं कि विद्युत प्रवाह रेखाएं धनात्मक आवेश से बाहर की ओर निर्देशित होती हैं।
हमें प्रभारी क्यू के साथ एक बंद सतह पर विचार करें संलग्न उस में। क्षेत्र वेक्टर को हमेशा सामान्य चुना जाता है क्योंकि यह सतह के उन्मुखीकरण का प्रतिनिधित्व करता है। क्षेत्र वेक्टर के साथ इलेक्ट्रिक फ़ील्ड वेक्टर द्वारा बनाए गए कोण को होने दें।
इलेक्ट्रिक फ्लक्स ψ है
डॉट उत्पाद चुनने का कारण यह है कि हमें यह गणना करने की आवश्यकता है कि एक सामान्य क्षेत्र वेक्टर द्वारा दर्शाए गए सतह से कितना विद्युत प्रवाह गुजरता है।
Coulombs कानून से, हम जानते हैं कि एक बिंदु आवेश के कारण Electric Field (E) Q / 4πε 0 r 2 है ।
एक गोलाकार समरूपता पर विचार करते हुए, गॉस कानून का अभिन्न रूप है:
इसलिए इलेक्ट्रिक फ्लक्स Q = Q संलग्न / Ψ 0
यहाँ Q संलग्न सतह के अंदर सभी आवेशों के सदिश राशि का प्रतिनिधित्व करता है । आवेश को घेरने वाला क्षेत्र किसी भी आकार का हो सकता है लेकिन गौस कानून को लागू करने के लिए, हमें एक गाऊसी सतह का चयन करना होगा जो सममित हो और जिसमें समान आवेश वितरण हो। गाऊसी सतह बेलनाकार या गोलाकार या एक विमान हो सकता है।
इसके विभेदक रूप को प्राप्त करने के लिए, हमें डायवर्जेंस प्रमेय लागू करने की आवश्यकता है।
उपरोक्त समीकरण गॉस लॉ या मैक्सवेल समीकरण I का अंतर रूप है ।
उपरोक्त समीकरण में, ρ वॉल्यूम चार्ज घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है। जब हमें एक लाइन चार्ज या सतह चार्ज वितरण के साथ सतह पर गॉस कानून लागू करना होता है, तो चार्ज घनत्व के समीकरण का प्रतिनिधित्व करना अधिक सुविधाजनक होता है।
इसलिए हम अनुमान लगा सकते हैं कि एक बंद सतह पर एक विद्युत क्षेत्र का डाइवर्जेंस इसके द्वारा आवेशित चार्ज (ρ) की मात्रा देता है । वेक्टर क्षेत्र में विचलन लागू करके, हम यह जान सकते हैं कि वेक्टर फ़ील्ड द्वारा संलग्न सतह एक स्रोत या सिंक के रूप में कार्य कर रही है या नहीं।
आइए एक क्यूबॉइड पर विचार करें, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है। जब हम बॉक्स (क्यूबॉइड) से निकलने वाले विद्युत क्षेत्र में विचलन को लागू करते हैं, तो गणितीय अभिव्यक्ति का परिणाम हमें बताता है कि बॉक्स (क्यूबॉइड) को विद्युत क्षेत्र के लिए स्रोत के रूप में माना जाता है। यदि परिणाम नकारात्मक है, तो यह हमें बताता है कि बॉक्स एक सिंक के रूप में कार्य करता है अर्थात बॉक्स इसमें एक नकारात्मक चार्ज संलग्न करता है। यदि विचलन शून्य है, तो इसका मतलब है कि इसमें कोई शुल्क नहीं है।
इससे हम अनुमान लगा सकते हैं कि विद्युत मोनोपोल मौजूद हैं ।
2. गॉस लॉ ऑफ़ मैग्नेटिज्म
हम जानते हैं कि चुंबकीय प्रवाह रेखा उत्तरी ध्रुव से दक्षिण ध्रुव तक बहती है।
चूंकि स्थायी चुंबक के कारण चुंबकीय प्रवाह रेखाएं होती हैं, इसलिए इसमें एक संबद्ध चुंबकीय प्रवाह घनत्व (बी) होगा। जब हम सतह S1, S2, S3 या S4 में विचलन प्रमेय लागू करते हैं, तो हम देखते हैं कि चयनित सतह में आने और जाने वाली फ्लक्स लाइनों की संख्या समान रहती है। इसलिए विचलन प्रमेय का परिणाम शून्य है। यहां तक कि सतह S2 और S4 में, विचलन शून्य है, जिसका अर्थ है कि न तो उत्तरी ध्रुव और न ही दक्षिणी ध्रुव व्यक्तिगत रूप से विद्युत प्रभार की तरह एक स्रोत या सिंक का कार्य करता है । यहां तक कि जब हम वर्तमान ले जाने वाले तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र (बी) के विचलन को लागू करते हैं, तो यह शून्य हो जाता है।
चुंबकत्व के गौस नियम का अभिन्न रूप है:
चुंबकत्व के गौस नियम का अंतर रूप है:
इससे हम अनुमान लगा सकते हैं कि चुंबकीय मोनोपोल मौजूद नहीं हैं।
3. फैराडे के प्रेरण के नियम
फैराडे के नियम में कहा गया है कि जब एक कॉइल या किसी कंडक्टर को जोड़ने पर चुंबकीय प्रवाह (समय के साथ बदलते हुए) में बदलाव होता है, तो कॉइल में प्रेरित ईएमएफ होगा। लेन्ज ने कहा कि ईएमएफ से प्रेरित एक दिशा में ऐसा होगा कि यह चुंबकीय प्रवाह में बदलाव का विरोध करता है।
उपरोक्त चित्रण में, जब एक कंडक्टिंग प्लेट या एक कंडक्टर को एक बदलते चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में लाया जाता है, तो परिसंचारी प्रवाह को इसमें प्रेरित किया जाता है। वर्तमान को ऐसी दिशा में प्रेरित किया जाता है कि इसके द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र उस बदलते चुंबकीय का विरोध करता है जिसने इसे बनाया था। इस दृष्टांत से, यह स्पष्ट है कि चुंबकीय क्षेत्र को बदलने या अलग करने से एक परिसंचारी विद्युत क्षेत्र बनता है।
फैराडे के नियम से, emf = - df / dt
हम जानते हैं कि, φ = बंद सतह ʃ बी। डी एस ईएमएफ = - (घ / डीटी) ʃ बी। डी एस
इलेक्ट्रिक फील्ड ई = वी / डी
वी = ʃ ई.dl
चूंकि विद्युत क्षेत्र सतह (कर्ल) के संबंध में बदल रहा है, वहां एक संभावित अंतर वी मौजूद है।
इसलिए मैक्सवेल के चौथे समीकरण का अभिन्न रूप है,
स्टोक के प्रमेय को लागू करके,
स्टोक के प्रमेय को लागू करने का कारण यह है कि जब हम एक बंद सतह पर घूमने वाले क्षेत्र का एक कर्ल लेते हैं, तो वेक्टर के आंतरिक कर्ल घटक एक दूसरे को रद्द कर देते हैं और इसके परिणामस्वरूप बंद मार्ग के साथ वेक्टर क्षेत्र का मूल्यांकन किया जाता है।
इसलिए हम लिख सकते हैं कि,
मैक्सवेल के समीकरण का अंतर रूप है
उपरोक्त अभिव्यक्ति से, यह स्पष्ट है कि समय के संबंध में बदलने वाला एक चुंबकीय क्षेत्र एक परिसंचारी विद्युत क्षेत्र का उत्पादन करता है।
नोट: इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में, एक विद्युत क्षेत्र का कर्ल शून्य होता है क्योंकि यह आवेश से रेडियल रूप से बाहर की ओर निकलता है और इससे जुड़ा कोई घूर्णन घटक नहीं होता है।
4. एम्पीयर का नियम
एम्पीयर के नियम में कहा गया है कि जब एक विद्युत प्रवाह एक तार के माध्यम से बहता है, तो यह चारों ओर एक चुंबकीय क्षेत्र का उत्पादन करता है। गणितीय रूप से, एक बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र का अभिन्न अंग इसके द्वारा संलग्न कुल वर्तमान देता है।
ʃ बी। डीडीएल = μ 0 मैंने संलग्न किया
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र तार के चारों ओर घूमता है, इसलिए हम स्टोक के प्रमेय को एम्पीयर के नियम में लागू कर सकते हैं।
इसलिए समीकरण बन जाता है
हम वर्तमान घनत्व जे के संदर्भ में संलग्न वर्तमान का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।
इस संबंध का उपयोग करके B = μ 0 H, हम अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिख सकते हैं
जब हम एक घूर्णन वेक्टर क्षेत्र के कर्ल पर विचलन लागू करते हैं, तो परिणाम शून्य होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि बंद सतह स्रोत या सिंक के रूप में कार्य नहीं करती है अर्थात सतह से आने और बाहर जाने की संख्या समान होती है। इसे गणितीय रूप में दर्शाया जा सकता है,
आइए नीचे दिए गए उदाहरण के अनुसार एक सर्किट पर विचार करें।
सर्किट में एक संधारित्र जुड़ा होता है। जब हम क्षेत्र S1 में विचलन लागू करते हैं, तो परिणाम दिखाता है कि यह गैर-शून्य है। गणितीय संकेतन में,
सर्किट में एक प्रवाह होता है लेकिन संधारित्र में, प्लेटों में विद्युत क्षेत्र बदलने के कारण शुल्क स्थानांतरित हो जाते हैं। इसलिए शारीरिक रूप से करंट प्रवाहित नहीं होता है। मैक्सवेल ने इस बदलते विद्युत प्रवाह को विस्थापन वर्तमान (J D) के रूप में गढ़ा । लेकिन मैक्सवेल ने फैराडे के नियम की समरूपता पर विचार करते हुए विस्थापन करंट (J D) शब्द को गढ़ा है यानी यदि समय में परिवर्तन करने वाला चुंबकीय क्षेत्र विद्युत क्षेत्र का उत्पादन करता है तो समरूपता द्वारा, विद्युत क्षेत्र बदलने से एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न होता है।
S1 क्षेत्र में चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता (H) का कर्ल है
मैक्सवेल के चौथे समीकरण का अभिन्न रूप इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
मैक्सवेल के चौथे समीकरण का अंतर रूप है:
इन सभी चार समीकरणों को या तो अभिन्न रूप में या एक साथ रखे गए अंतर को मैक्सवेल के समीकरण के रूप में कहा जाता है ।