बटरवर्थ फ़िल्टर: पहला ऑर्डर और दूसरा ऑर्डर लो पास बटरवर्थ फ़िल्टर

इलेक्ट्रिक फिल्टर में कई एप्लिकेशन होते हैं और बड़े पैमाने पर कई सिग्नल प्रोसेसिंग सर्किट में उपयोग किए जाते हैं। इसका उपयोग किसी दिए गए इनपुट के पूर्ण स्पेक्ट्रम में चयनित आवृत्ति के संकेतों को चुनने या समाप्त करने के लिए किया जाता है। तो फिल्टर का उपयोग इसके माध्यम से चुने हुए आवृत्ति के संकेतों को अनुमति देने के लिए किया जाता है या इसके माध्यम से गुजरने वाली चुनी हुई आवृत्ति के संकेतों को समाप्त करने के लिए किया जाता है।

वर्तमान में, कई प्रकार के फिल्टर उपलब्ध हैं और वे कई तरीकों से विभेदित हैं। और हमने पिछले ट्यूटोरियल में कई फिल्टर कवर किए हैं, लेकिन सबसे लोकप्रिय भेदभाव पर आधारित है,

एनालॉग या डिजिटल
सक्रिय या निष्क्रिय
ऑडियो या रेडियो-आवृत्ति
आवृत्ति का चयन

एनालॉग या डिजिटल फिल्टर

हम जानते हैं कि पर्यावरण द्वारा उत्पन्न सिग्नल प्रकृति में एनालॉग हैं जबकि डिजिटल सर्किट में संसाधित सिग्नल प्रकृति में डिजिटल हैं। हमें वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए एनालॉग और डिजिटल सिग्नल के लिए संबंधित फ़िल्टर का उपयोग करना होगा। इसलिए हमें एनालॉग सिग्नल को संसाधित करते समय एनालॉग फिल्टर का उपयोग करना होगा और डिजिटल सिग्नल को संसाधित करते समय डिजिटल फिल्टर का उपयोग करना होगा।

सक्रिय या निष्क्रिय फिल्टर

फ़िल्टर डिज़ाइन करते समय उपयोग किए गए घटकों के आधार पर फ़िल्टर भी विभाजित होते हैं। यदि फ़िल्टर का डिज़ाइन पूरी तरह से निष्क्रिय घटकों (जैसे अवरोधक, संधारित्र और प्रारंभ करनेवाला) पर आधारित है, तो फ़िल्टर को निष्क्रिय फ़िल्टर कहा जाता है। दूसरी ओर, यदि हम सर्किट डिजाइन करते समय एक सक्रिय घटक (सेशन-एम्प, वोल्टेज सोर्स, करंट सोर्स) का उपयोग करते हैं तो फिल्टर को एक सक्रिय फिल्टर कहा जाता है।

अधिक लोकप्रिय हालांकि एक सक्रिय फिल्टर निष्क्रिय एक पर पसंद किया जाता है क्योंकि वे कई फायदे रखते हैं। इन फायदों में से कुछ नीचे दिए गए हैं:

कोई लोडिंग समस्या नहीं: हम जानते हैं कि एक सक्रिय सर्किट में हम एक op-amp का उपयोग करते हैं जिसमें बहुत अधिक इनपुट प्रतिबाधा और कम आउटपुट प्रतिबाधा होती है। उस स्थिति में जब हम एक सक्रिय फिल्टर को एक सर्किट से जोड़ते हैं, तो op-amp द्वारा खींचा गया वर्तमान बहुत ही नगण्य होगा क्योंकि इसमें बहुत अधिक इनपुट प्रतिबाधा होती है और इस तरह सर्किट का कोई बोझ नहीं होता है जब फ़िल्टर जुड़ा होता है।
समायोजन लचीलापन प्राप्त करें: निष्क्रिय फिल्टर में, लाभ या संकेत प्रवर्धन संभव नहीं है क्योंकि इस तरह के कार्य को करने के लिए कोई विशिष्ट घटक नहीं होगा। दूसरी ओर एक सक्रिय फिल्टर में, हमारे पास op-amp है जो इनपुट संकेतों को उच्च लाभ या संकेत प्रवर्धन प्रदान कर सकता है।
फ्रीक्वेंसी एडजस्टमेंट फ्लेक्सिबिलिटी: पैसिव फिल्टर्स की तुलना में कटऑफ फ्रीक्वेंसी को एडजस्ट करते समय एक्टिव फिल्टर्स में ज्यादा लचीलापन होता है।

ऑडियो या रेडियो फ्रीक्वेंसी पर आधारित फिल्टर

फ़िल्टर के डिज़ाइन में उपयोग किए जाने वाले घटक फ़िल्टर के अनुप्रयोग या जहाँ सेटअप का उपयोग किया जाता है, के आधार पर बदलते हैं। उदाहरण के लिए, RC फ़िल्टर का उपयोग ऑडियो या कम-आवृत्ति अनुप्रयोगों के लिए किया जाता है जबकि LC फ़िल्टर रेडियो या उच्च-आवृत्ति अनुप्रयोगों के लिए उपयोग किया जाता है।

फ़्रीक्वेंसी चयन के आधार पर फ़िल्टर

फिल्टर को फिल्टर के माध्यम से पारित संकेतों के आधार पर भी विभाजित किया जाता है

लो पास फिल्टर:

चयनित आवृत्तियों के ऊपर के सभी संकेत मिल जाते हैं। वे दो प्रकार के होते हैं- एक्टिव लो पास फ़िल्टर और पैसिव लो पास फ़िल्टर। निम्न पास फिल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया नीचे दिखाई गई है। यहां, बिंदीदार ग्राफ आदर्श कम पास फिल्टर ग्राफ है और एक साफ ग्राफ व्यावहारिक सर्किट की वास्तविक प्रतिक्रिया है। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि एक रेखीय नेटवर्क एक असंतोषजनक संकेत नहीं दे सकता है। जैसा कि कटऑफ फ्रीक्वेंसी एफएच तक पहुंचने के बाद संकेत में दिखाया गया है कि वे क्षीणन का अनुभव करते हैं और एक निश्चित उच्च आवृत्ति के बाद इनपुट पर दिए गए सिग्नल पूरी तरह से अवरुद्ध हो जाते हैं।

उच्च पास फिल्टर:

चयनित आवृत्तियों के ऊपर सभी संकेत आउटपुट पर दिखाई देते हैं और उस आवृत्ति के नीचे एक संकेत अवरुद्ध हो जाता है। वे दो प्रकार के होते हैं- एक्टिव हाई पास फिल्टर और पैसिव हाई पास फिल्टर। एक उच्च पास फिल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया नीचे दिखाई गई है। यहां, एक बिंदीदार ग्राफ आदर्श उच्च पास फिल्टर ग्राफ है और एक साफ ग्राफ व्यावहारिक सर्किट की वास्तविक प्रतिक्रिया है। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि एक रेखीय नेटवर्क एक असंतोषजनक संकेत नहीं दे सकता है। जैसा कि आंकड़े में दिखाया गया है कि जब तक संकेतों में कटऑफ आवृत्ति की तुलना में अधिक आवृत्ति नहीं होती है तब तक वे एफएलएन का अनुभव करते हैं।

बंदपास छननी:

इस फ़िल्टर में, केवल चयनित फ़्रीक्वेंसी रेंज के संकेतों को आउटपुट में प्रदर्शित होने की अनुमति है, जबकि किसी अन्य आवृत्ति के सिग्नल अवरुद्ध हो जाते हैं। बैंडपास फिल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया नीचे दी गई है। यहां, बिंदीदार ग्राफ आदर्श बैंडपास फिल्टर ग्राफ है और एक साफ ग्राफ व्यावहारिक सर्किट की वास्तविक प्रतिक्रिया है। जैसा कि चित्र में दिखाया गया है कि एफएल से एफएच तक आवृत्ति रेंज पर संकेतों को अन्य आवृत्ति अनुभव क्षीणन के संकेतों के दौरान फिल्टर से गुजरने की अनुमति है। बैंड पास फ़िल्टर के बारे में अधिक जानें यहाँ।

बैंड अस्वीकार फिल्टर:

बैंड रिजेक्ट फिल्टर फ़ंक्शन बैंडपास फिल्टर के बिल्कुल विपरीत है। इनपुट पर प्रदान की गई चयनित बैंड रेंज में आवृत्ति मूल्य वाले सभी आवृत्ति संकेतों को फ़िल्टर द्वारा अवरुद्ध कर दिया जाता है, जबकि किसी अन्य आवृत्ति के संकेतों को आउटपुट पर प्रदर्शित होने की अनुमति दी जाती है।

सभी पास फ़िल्टर:

किसी भी आवृत्ति के सिग्नलों को इस फ़िल्टर से गुजरने की अनुमति है, सिवाय इसके कि वे एक चरण बदलाव का अनुभव करते हैं।

आवेदन और लागत के आधार पर, डिजाइनर विभिन्न विभिन्न प्रकारों से उपयुक्त फिल्टर चुन सकते हैं।

लेकिन यहां आप आउटपुट ग्राफ पर देख सकते हैं कि वांछित और वास्तविक परिणाम बिल्कुल समान नहीं हैं। हालांकि कई अनुप्रयोगों में इस त्रुटि की अनुमति है, लेकिन कभी-कभी हमें एक अधिक सटीक फ़िल्टर की आवश्यकता होती है जिसका आउटपुट ग्राफ़ आदर्श फ़िल्टर की ओर अधिक झुकता है। यह आदर्श प्रतिक्रिया के निकट विशेष डिजाइन तकनीकों, सटीक घटकों और उच्च गति वाले ऑप-एम्प्स का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

बटरवर्थ, कौर और चेबीशेव कुछ सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले फिल्टर हैं जो एक आदर्श-आदर्श प्रतिक्रिया वक्र प्रदान कर सकते हैं। उनमें, हम यहां बटरवर्थ फिल्टर पर चर्चा करेंगे क्योंकि यह तीनों में से सबसे लोकप्रिय है।

बटरवर्थ फ़िल्टर की मुख्य विशेषताएं हैं:

यह एक RC (रेजिस्टर, कैपेसिटर) और Op-amp (ऑपरेशनल एम्पलीफायर) आधारित फ़िल्टर है
यह एक सक्रिय फिल्टर है ताकि जरूरत पड़ने पर लाभ को समायोजित किया जा सके
बटरवर्थ की प्रमुख विशेषता यह है कि इसमें एक फ्लैट पासबैंड और फ्लैट स्टॉपबैंड है। यही कारण है कि इसे आमतौर पर 'फ्लैट-फ्लैट फिल्टर' कहा जाता है।

अब हम बेहतर समझ के लिए लो पास बटरवर्थ फ़िल्टर के सर्किट मॉडल पर चर्चा करते हैं।

पहला ऑर्डर लो पास बटरवर्थ फ़िल्टर

आकृति पहले-क्रम के कम-पास मक्खन के सर्किट मॉडल को फिल्टर के लायक दिखाती है।

सर्किट में हमारे पास:

वोल्टेज 'विन' एक इनपुट वोल्टेज सिग्नल के रूप में है जो प्रकृति में एनालॉग है।
वोल्टेज 'Vo' ऑपरेशनल एम्पलीफायर का आउटपुट वोल्टेज है।
रेसिस्टर्स 'RF' और 'R1' ऑपरेशनल एम्पलीफायर के निगेटिव फीडबैक रेसिस्टर्स हैं।
सर्किट में एक एकल आरसी नेटवर्क (लाल वर्ग में चिह्नित) मौजूद है इसलिए फिल्टर एक प्रथम-क्रम कम पास फिल्टर है
'आरएल' ऑप-एम्प आउटपुट में जुड़ा लोड प्रतिरोध है।

यदि हम बिंदु 'V1' पर वोल्टेज विभक्त नियम का उपयोग करते हैं, तो हम संधारित्र के रूप में वोल्टेज प्राप्त कर सकते हैं, वी ₁ = वी _में यहाँ -jXc = 1 / 2ᴫfc

इस समीकरण के प्रतिस्थापन के बाद हमारे पास नीचे जैसा कुछ होगा

V ₁ = Vi _n / (1 + j2 = fRC)

अब यहाँ op-amp नकारात्मक प्रतिक्रिया विन्यास में इस्तेमाल किया जाता है और इस तरह के मामले में आउटपुट वोल्टेज समीकरण के रूप में दिया जाता है, वी _० = (१ + आर _एफ / आर _१) वी _१।

यह एक मानक सूत्र है और आप अधिक जानकारी के लिए op-amp सर्किट में देख सकते हैं।

यदि हम V1 समीकरण को Vo में जमा करते हैं तो हमारे पास होगा, V0 = (1 + आर _एफ / आर ₁)

इस समीकरण को लिखने के बाद, हम कर सकते हैं, V ₀ / V _in = A _F / (1 + j (f / f _L))

इस समीकरण में,

आवृत्ति के एक फ़ंक्शन के रूप _में V ₀ / V = फ़िल्टर का लाभ
एएफ = (1 + आर _एफ / आर ₁) = फिल्टर का पासबैंड लाभ
f = इनपुट सिग्नल की आवृत्ति
f _L = 1 / 2ᴫRC = फ़िल्टर की कटऑफ आवृत्ति। हम सर्किट के कटऑफ आवृत्ति का चयन करने के लिए उपयुक्त प्रतिरोधक और संधारित्र मान चुनने के लिए इस समीकरण का उपयोग कर सकते हैं।

यदि हम उपरोक्त समीकरण को एक ध्रुवीय रूप में परिवर्तित करते हैं, तो हमारे पास होगा,

हम इनपुट समीकरण की आवृत्ति में परिवर्तन के साथ लाभ परिमाण में परिवर्तन का निरीक्षण करने के लिए इस समीकरण का उपयोग कर सकते हैं।

केस 1: एफ < एल । तो आइए हम इनपुट आवृत्ति को फ़िल्टर के कटऑफ आवृत्ति से बहुत कम मानते हैं,

तो जब इनपुट आवृत्ति फिल्टर कटऑफ आवृत्ति से बहुत कम होती है तो लाभ परिमाण लगभग op-amp के लूप लाभ के बराबर होता है ।

केस 2: एफ = एफ _एल । यदि इनपुट फ़्रीक्वेंसी फ़िल्टर के कटऑफ़ फ़्रीक्वेंसी के बराबर है, तो

इसलिए जब इनपुट फ़्रीक्वेंसी फ़िल्टर कटऑफ़ फ़्रीक्वेंसी के बराबर होती है, तो ऑप-एम्प का लूप गेन 0.707 गुना बढ़ जाता है ।

केस 3: एफ> एफ _एल । यदि इनपुट आवृत्ति फ़िल्टर की कटऑफ आवृत्ति से अधिक है, तो

जैसा कि आप पैटर्न से देख सकते हैं कि फ़िल्टर का लाभ op-amp लाभ के समान होगा जब तक कि इनपुट सिग्नल की आवृत्ति कटऑफ आवृत्ति से कम न हो। लेकिन एक बार इनपुट सिग्नल फ्रीक्वेंसी कटऑफ फ्रीक्वेंसी तक पहुंच जाती है, जैसा कि केस टू में देखा गया है। और जब तक इनपुट सिग्नल की आवृत्ति बढ़ जाती है तब तक लाभ धीरे-धीरे कम हो जाता है जब तक कि यह शून्य तक नहीं पहुंचता। तो कम पास बटरवर्थ फ़िल्टर इनपुट सिग्नल को आउटपुट पर प्रदर्शित होने की अनुमति देता है जब तक कि इनपुट सिग्नल की आवृत्ति कटऑफ आवृत्ति से कम न हो ।

यदि हमने उपरोक्त सर्किट के लिए आवृत्ति प्रतिक्रिया ग्राफ तैयार किया है, तो हम

जैसा कि ग्राफ में देखा गया है, लाभ तब तक रैखिक होगा जब तक कि इनपुट सिग्नल की आवृत्ति कटऑफ आवृत्ति मूल्य को पार नहीं कर लेती है और एक बार ऐसा होने पर लाभ काफी कम हो जाता है इसलिए आउटपुट वोल्टेज मान होता है।

दूसरा-ऑर्डर बटरवर्थ कम पास फ़िल्टर

चित्रा 2 डी बटरवर्थ कम पास फिल्टर के सर्किट मॉडल को दिखाती है।

सर्किट में हमारे पास:

वोल्टेज 'विन' एक इनपुट वोल्टेज सिग्नल के रूप में है जो प्रकृति में एनालॉग है।
वोल्टेज 'Vo' ऑपरेशनल एम्पलीफायर का आउटपुट वोल्टेज है।
रेसिस्टर्स 'RF' और 'R1' ऑपरेशनल एम्पलीफायर के निगेटिव फीडबैक रेसिस्टर्स हैं।
सर्किट में एक डबल आरसी नेटवर्क (एक लाल वर्ग में चिह्नित) मौजूद है इसलिए फ़िल्टर एक दूसरा क्रम कम पास फिल्टर है।
'आरएल' ऑप-एम्प आउटपुट में जुड़ा लोड प्रतिरोध है।

दूसरा ऑर्डर लो पास बटरवर्थ फ़िल्टर व्युत्पत्ति

द्वितीय-क्रम फ़िल्टर महत्वपूर्ण हैं क्योंकि उच्च-क्रम वाले फ़िल्टर उनका उपयोग करके डिज़ाइन किए गए हैं। दूसरे क्रम के फिल्टर का लाभ आर 1 और आरएफ द्वारा निर्धारित किया जाता है, जबकि कटऑफ आवृत्ति एफ _एच आर ₂, आर ₃, सी ₂ और सी ₃ मूल्यों द्वारा निर्धारित की जाती है । कटऑफ आवृत्ति के लिए व्युत्पत्ति निम्नानुसार दी गई है, f _H = 1 / 2ᴫ (R ₂ R ₃ C ₂ C ₃) ^1/2

इस सर्किट के लिए वोल्टेज लाभ समीकरण भी पहले की तरह ही पाया जा सकता है और यह समीकरण नीचे दिया गया है,

इस समीकरण में,

आवृत्ति के एक फ़ंक्शन के रूप _में V ₀ / V = फ़िल्टर का लाभ
एक _एफ = (1 + आर _एफ / आर ₁) फ़िल्टर का पासबैंड लाभ
f = इनपुट सिग्नल की आवृत्ति
f _H = 1 / 2ᴫ (R ₂ R ₃ C ₂ C ₃) ^1/2 = फिल्टर की कटऑफ फ्रीक्वेंसी। हम सर्किट के कटऑफ आवृत्ति का चयन करने के लिए उपयुक्त प्रतिरोधक और संधारित्र मान चुनने के लिए इस समीकरण का उपयोग कर सकते हैं। इसके अलावा, यदि हम आरसी नेटवर्क में एक ही रेसिस्टर और कैपेसिटर चुनते हैं तो समीकरण बन जाता है,

हम इनपुट संकेत की आवृत्ति में संबंधित परिवर्तन के साथ लाभ परिमाण में परिवर्तन का निरीक्षण करने के लिए वोल्टेज लाभ समीकरण कर सकते हैं।

केस 1: एफ < एच । तो आइए हम इनपुट आवृत्ति को फ़िल्टर के कटऑफ आवृत्ति से बहुत कम मानते हैं,

केस 2: एफ = एफ _एच । यदि इनपुट फ़्रीक्वेंसी फ़िल्टर के कटऑफ़ फ़्रीक्वेंसी के बराबर है, तो

केस 3: एफ> एफ _एच । यदि इनपुट आवृत्ति वास्तव में फ़िल्टर की कटऑफ आवृत्ति से अधिक है, तो

प्रथम-क्रम फ़िल्टर के समान, फ़िल्टर का लाभ op-amp के समान होगा जब तक इनपुट सिग्नल आवृत्ति कटऑफ़ आवृत्ति से कम न हो। लेकिन एक बार इनपुट सिग्नल फ्रीक्वेंसी कटऑफ फ्रीक्वेंसी तक पहुंच जाती है, जैसा कि केस टू में देखा गया है। और जब तक इनपुट सिग्नल की आवृत्ति बढ़ जाती है तब तक लाभ धीरे-धीरे कम हो जाता है जब तक कि यह शून्य तक नहीं पहुंचता। तो कम पास बटरवर्थ फ़िल्टर इनपुट सिग्नल को आउटपुट पर प्रदर्शित होने की अनुमति देता है जब तक कि इनपुट सिग्नल की आवृत्ति कटऑफ आवृत्ति से कम नहीं होती है।

यदि हमारे पास उपरोक्त सर्किट के लिए आवृत्ति प्रतिक्रिया ग्राफ है, तो हम

अब आप सोच रहे होंगे कि फ़र्स्ट-ऑर्डर फ़िल्टर और सेकंड-ऑर्डर फ़िल्टर में अंतर कहाँ है ? उत्तर ग्राफ में है, यदि आप ध्यान से देखते हैं कि इनपुट इनपुट आवृत्ति के कटऑफ आवृत्ति को पार करने के बाद आप देख सकते हैं कि ग्राफ में भारी गिरावट आती है और यह गिरावट फर्स्ट -ऑर्डर की तुलना में दूसरे क्रम में अधिक स्पष्ट है। इस खड़ी झुकाव के साथ, एकल-ऑर्डर बटरवर्थ फिल्टर की तुलना में दूसरे क्रम का बटरवर्थ फ़िल्टर आदर्श फिल्टर ग्राफ की ओर अधिक झुकाव होगा।

यह थर्ड ऑर्डर बटरवर्थ लो पास फ़िल्टर, फोर्थ ऑर्डर बटरवर्थ लो पास फ़िल्टर इत्यादि के लिए समान है। फ़िल्टर का क्रम जितना अधिक होगा उतने अधिक लाभ ग्राफ को एक आदर्श फ़िल्टर ग्राफ में ले जाते हैं। यदि हम उच्च-क्रम के बटरवर्थ फिल्टर के लिए लाभ ग्राफ बनाते हैं तो हमारे पास कुछ इस तरह का होगा,

ग्राफ में, हरे रंग की वक्र आदर्श फ़िल्टर वक्र का प्रतिनिधित्व करती है और आप देख सकते हैं कि बटरवर्थ फ़िल्टर के क्रम से इसका लाभ ग्राफ़ की झुकाव आदर्श वक्र की ओर अधिक बढ़ जाता है। तो उच्च बटरवर्थ फिल्टर के आदेश अधिक आदर्श लाभ वक्र हो जाएगा चुना । कहा जा रहा है कि आप एक उच्च-क्रम फ़िल्टर आसानी से नहीं चुन सकते हैं क्योंकि फ़िल्टर की सटीकता क्रम में वृद्धि के साथ घट जाती है । इसलिए आवश्यक सटीकता पर नजर रखते हुए एक फिल्टर का क्रम चुनना सबसे अच्छा है।

दूसरा-ऑर्डर कम पास बटरवर्थ फ़िल्टर व्युत्पत्ति-एिटर

लेख प्रकाशित होने के बाद हमें कीथ वोगेल का एक मेल मिला, जो एक सेवानिवृत्त इलेक्ट्रिकल इंजीनियर हैं। उन्होंने 2 ^{एन डी} ऑर्डर कम पास फिल्टर के विवरण में व्यापक रूप से प्रचारित त्रुटि देखी थी और इसे सही करने के लिए अपने स्पष्टीकरण की पेशकश की जो इस प्रकार है।

तो मुझे इसे भी ठीक करने दें:

और फिर कहने के लिए -6 db कटऑफ आवृत्ति समीकरण द्वारा वर्णित है:

f _c = 1 / (

)

हालाँकि, यह केवल सच नहीं है! चलिए मैं आपको विश्वास दिलाता हूं। चलो एक सर्किट बनाते हैं जहां R1 = R2 = 160, और C1 = C2 = 100nF (0.1uF)। समीकरण को देखते हुए, हमारे पास एक -6 db की आवृत्ति होनी चाहिए:

f _c = 1 / (

) = 1 / (2

* 160 * 100 * 10 ^-9) ~ 9.947kHz

चलो आगे बढ़ते हैं और सर्किट का अनुकरण करते हैं और देखते हैं कि -6db बिंदु कहां है:

ओह, यह 6.33kHz नहीं 9.947kHz करने के लिए अनुकरण करता है; लेकिन सिमुलेशन गलत नहीं है!

आपकी जानकारी के लिए, मैंने -6db के बजाय -6.0206db का उपयोग किया है क्योंकि 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 -6 से थोड़ा अधिक निकट है, और हमारे समीकरणों के लिए अधिक सटीक सिम्युलेटेड आवृत्ति प्राप्त करने के लिए, मैं उपयोग करना चाहता था। बस -6 db से कुछ ज्यादा करीब। अगर मैं वास्तव में समीकरण द्वारा उल्लिखित आवृत्ति को प्राप्त करना चाहता था, तो मुझे फ़िल्टर के 1 ^सेंट और 2 ^{एन डी} चरणों के बीच बफर करने की आवश्यकता होगी । हमारे समीकरण के लिए एक अधिक सटीक सर्किट होगा:

और यहाँ हम देखते हैं कि हमारा -6.0206db पॉइंट 9.945kHz तक सिम्युलेट हो जाता है, हमारे गणना किए गए 9.947kHZ के बहुत करीब है। उम्मीद है, आप मुझ पर विश्वास करते हैं कि कोई त्रुटि है! अब इस बारे में बात करते हैं कि त्रुटि कैसे हुई, और यह सिर्फ खराब इंजीनियरिंग क्यों है।

अधिकांश विवरण 1 ^सेंट ऑर्डर कम पास फिल्टर के साथ शुरू होंगे, प्रतिबाधा निम्नानुसार है।

और आपको एक सरल स्थानांतरण फ़ंक्शन मिलता है:

H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)

फिर वे कहते हैं कि यदि आप सिर्फ 2 ^{एन डी} ऑर्डर फिल्टर बनाने के लिए इनमें से 2 को एक साथ रखते हैं, तो आपको मिलता है:

एच (एस) = एच ₁ (एस) * एच ₂ (एस)।

जहाँ H ₁ (s) = H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1)

जब गणना की जाती है तो परिणाम fc = 1 / (21R1C1R2C2) समीकरण होगा। यहाँ त्रुटि है, एच ₁ (एस) की प्रतिक्रिया सर्किट में एच ₂ (एस) से स्वतंत्र नहीं है, आप एच ₁ (एस) = एच ₂ (एस) = 1 / (एसआरसी + 1) नहीं कह सकते हैं ।

एच के प्रतिबाधा ₂ (रों) एच की प्रतिक्रिया को प्रभावित करता है ₁ (रों)। और इस प्रकार यह सर्किट क्यों काम करता है, क्योंकि ओपैंप एच ₁ (एस) से एच ₂ (एस) को अलग करता है!

तो अब मैं निम्नलिखित सर्किट का विश्लेषण करने जा रहा हूं। हमारे मूल सर्किट पर विचार करें:

सादगी के लिए, मैं आर 1 = आर 2 और सी 1 = सी 2 बनाने जा रहा हूं, अन्यथा, गणित वास्तव में शामिल हो जाता है। लेकिन हमें वास्तविक हस्तांतरण फ़ंक्शन को प्राप्त करने में सक्षम होना चाहिए और जब हम किया जाता है तो सत्यापन के लिए हमारे सिमुलेशन से इसकी तुलना करें।

यदि हम कहते हैं, जेड ₁ = 1 / एससी के साथ समानांतर में (आर + 1 / एससी), हम सर्किट को फिर से कर सकते हैं:

हम चाहते हैं कि वी पता ₁ / वी _में = जेड ₁ / (आर + Z ₁); जहां Z ₁ एक जटिल प्रतिबाधा हो सकता है। और अगर हम अपने मूल सर्किट में वापस जाते हैं, तो हम Z ₁ = 1 / sC को समानांतर में देख सकते हैं (R + 1 / sC)

हम यह भी देख सकते हैं कि Vo / V ₁ = 1 / (sRC + 1), जो कि H ₂ (s) है। लेकिन एच ₁ (एस) बहुत अधिक जटिल है, यह जेड ₁ / (आर + जेड ₁) है जहां जेड ₁ = 1 / एससी - (आर + 1 / एससी); और 1 / (sRC + 1) नहीं है!

तो अब हमारे सर्किट के लिए गणित के माध्यम से पीसने देता है; R1 = R2 और C1 = C2 के विशेष मामले के लिए।

हमारे पास है:

V ₁ / V _में = Z ₁ / (R + Z ₁) Z ₁ = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) ² R + 2sC) Vo / V ₁ = 1 / (sRC + 1)

और अंत में

वीओ / वी _में = * = * = * * = * = *

यहाँ हम देख सकते हैं कि:

H ₁ (s) = (sRC + 1) / ((sCR) ² + 3sRC + 1)…

1 / नहीं (sRC + 1) H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1)

तथा..

Vo / V _in = H ₁ (s) * H ₂ (s) = * = 1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1)

हम जानते हैं कि -6 db बिंदु है (

/ 2) ² = 0.5

और हम जानते हैं कि जब हमारे ट्रांसफर फ़ंक्शन का परिमाण 0.5 पर है, तो हम -6 डीबी आवृत्ति पर हैं।

तो चलो उस के लिए हल:

-वो / वी _में - = -1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1) - = 0.5

चलो s = jꙍ, हमारे पास है:

-1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1) - = 0.5 -1 / ((jꙍRC) ² + 3j 2RC + 1) - = 0.5 - ((jꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- ꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (((ꙍRC) ²) + 3j)RC- = 2

परिमाण को खोजने के लिए, वास्तविक और काल्पनिक शब्दों के वर्ग का वर्गमूल लें।

sqrt (((1- (ꙍRC) ²) ² + (3CRC) ²) = 2

दोनों पक्षों को

चुकता करना: (1- (ꙍRC) ²) ² + (3CRC) ² = 4

विस्तार:

1 - 2 (--RC) ² + (CRC) ⁴ + 9 ((RC) ² = 4

1 + 7 (+RC) ² + (CRC) ⁴ = 4

(ꙍRC) ⁴ + 7 (ꙍRC) ² + 1 = 4

(ꙍRC) ⁴ + 7 (ꙍRC) ² - 3 = 0

आज्ञा देना x = (xRC) ²

(x) ² + 7x - 3 = 0

एक्स के लिए हल करने के लिए द्विघात समीकरण का उपयोग करना